第3階梯の教え
条件付き期待値
新情報を得たら、期待値も変わる
条件付き期待値
ざっくり言うと
情報には価値がある。なぜなら期待値が変わるから。 何も知らなければ平均値は3.5だ。しかし「出た目が3以上」という情報を得た瞬間、新しい条件下での期待値は4.5に跳ね上がる。このように情報は期待値に直結する力を持っている。
真理の詳細
条件付き期待値（Conditional Expectation）とは、ある事象Yが起きたという情報がわかった場合における、確率変数Xの期待値である。記号ではE[X|Y]と表す。新情報の価値とは、まさに期待値を変える力であり、それが意思決定の質を左右するのだ。
聖なる公式：
サイコロで「3以上」という条件
公正なサイコロを振りました。出た目が「3以上」だとわかった場合、出目の条件付き期待値を計算します。
計算手順
結論: 条件なしの期待値は3.5ですが、「3以上」という条件がわかると条件付き期待値は4.5に上がります。
天気と売上
アイスクリーム店の1日の売上は天気に大きく影響します。「明日が晴れ」とわかったときの期待売上を計算します。
計算手順
結論: 全体の期待売上は69,700円ですが、「晴れ」という情報があると条件付き期待値は85,000円に上がります。
全期待値の法則
条件付き期待値には美しい性質があります。複数の条件に分けて計算した条件付き期待値を、その条件の確率で加重平均すると元の期待値になります。
公式：
覚えておくべき真理
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情報は期待値を変える - 新しい事実を知ることで期待値は跳ね上がる
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条件付き確率を用いよ - P(X|Y)はお前の最強の武器だ
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全期待値の法則は普遍の真理 - あらゆる情報源の期待値は一つに統合される
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情報こそが価値 - 期待値を変える情報を持つ者だけが選択できる
修行の時間
試練:
サイコロを振って「偶数」が出たという条件下で、出目の条件付き期待値を計算してください。
答えの啓示：
偶数は2, 4, 6の3つ P(X=2|偶数) = P(X=4|偶数) = P(X=6|偶数) = 1/3 E[X|偶数] = 2×(1/3) + 4×(1/3) + 6×(1/3) = 12/3 = 4
試練の間
条件付き期待値の理解度を試す。己の力を証明せよ。
近日開放