第3階梯の教え
ベイズの定理と期待値
信念をアップデートする数学
ベイズの定理と期待値
ざっくり言うと
新しい証拠を得たら、確率を更新せよ。 初めは「Aである確率は70%」と思っていても、新しい証拠を見たら「実は40%だった」と気づく。それがベイズの定理だ。お前の信念は証拠によって常に更新され、その更新こそが正しい判断に導く。
真理の詳細
ベイズの定理はP(A|B) = P(B|A)×P(A)/P(B)という関係を示す条件付き確率の強力なツールである。これを期待値計算に応用することで、新たな証拠を得るたびに信念を更新し、期待値を次々と修正していくのだ。これが真の意思決定者の道である。
ベイズの定理の基本
条件付き確率の関係を使って、証拠を基に確率を更新する。
公式：
P(A)は事前確率（証拠を見る前のAの確率）、P(A|B)は事後確率（証拠Bを見た後のAの確率）である。P(B|A)は尤度（Aが真のときにBが観測される確率）だ。
医療検査の例
検査結果が陽性でも、実際に病気である確率は思ったより低いことがある。
計算手順
事前確率: P(病気) = 0.01
尤度: P(陽性|病気) = 0.90（感度）
偽陽性率: P(陽性|健康) = 0.05
P(陽性) = 0.90×0.01 + 0.05×0.99 = 0.0585
P(病気|陽性) = 0.90×0.01/0.0585 ≈ 0.154
結論: 陽性でも実際に病気である確率は約15%に過ぎない。これがベースレートの無視という認知バイアスの罠だ。
期待値への応用
新情報を得た後の期待値を計算する。
計算手順
事前確率: P(上昇) = 0.60
良いニュースの尤度: P(良いニュース|上昇) = 0.80, P(良いニュース|下落) = 0.20
P(良いニュース) = 0.80×0.60 + 0.20×0.40 = 0.56
P(上昇|良いニュース) = 0.80×0.60/0.56 ≈ 0.857
事後期待リターン = 0.857×(+10%) + 0.143×(-5%) ≈ +7.9%
結論: 新情報によって期待リターンが更新され、より正確な意思決定が可能になる。
覚えておくべき真理
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証拠によって信念を更新せよ - 初期の確信は幻想に過ぎない
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事前確率から事後確率へ - 知識とは常に流動的なものだ
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情報の価値は定量的である - その証拠の価値を計算せよ
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継続的な学習が精度を高める - 意思決定は永遠の更新プロセス
修行の時間
試練:
病気の罹患率が2%、検査の感度が95%（病気なら95%陽性）、特異度が90%（健康なら90%陰性）の場合、検査が陽性だったとき、実際に病気である確率は何%か？
答えの啓示：
P(陽性) = 0.95×0.02 + 0.10×0.98 = 0.019 + 0.098 = 0.117\nP(病気|陽性) = 0.95×0.02/0.117 ≈ 0.162 = 約16.2%\n\n検査陽性でも実際に病気である確率は約16%。これがベイズの定理の威力だ。
試練の間
ベイズの定理と期待値の理解度を試す。己の力を証明せよ。
近日開放